Maxwellovy rovnice v dutinovém rezonátoru

Schumannova rezonance je vlastní elektromagnetické kmitání kulové dutiny mezi zemským povrchem a spodní ionosférou. Pole se odvozují z Maxwellových rovnic zapsaných na sférické skořepině s vnitřním poloměrem a (povrch Země) a vodivou horní hranicí (ionosféra) Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

V dutině dominují TM módy (transverse magnetic): mají vertikální (radiální) elektrické pole E_r a horizontální magnetické pole; složka E ve směru šíření je přítomna, kdežto H je čistě příčné. To odpovídá fyzice ELF zdroje — blesků jako vertikálních proudových kanálů — i geometrii tenké dutiny, jejíž tloušťka (desítky km) je mnohem menší než vlnová délka (tisíce km) i obvod Země.

Z bezzdrojových Maxwellových rovnic se pro harmonickou závislost e^{-i\omega t} získá vlnová (Helmholtzova) rovnice \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 s k = \omega/c. Díky kulové symetrii se řešení separuje na radiální a úhlovou část; úhlová část vede na sférické harmoniky Y_n^m(\theta,\varphi), respektive Legendreovy funkce P_n(\cos\theta). Indexy n číslují vlastní módy dutiny.