Le equazioni di Maxwell in un risonatore a cavità

La risonanza di Schumann è l'oscillazione elettromagnetica propria della cavità sferica compresa tra la superficie terrestre e la bassa ionosfera. I campi si ricavano dalle equazioni di Maxwell scritte su un guscio sferico con raggio interno a (la superficie terrestre) e un limite superiore conduttivo (la ionosfera) Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

Nella cavità dominano i modi TM (transverse magnetic): hanno un campo elettrico verticale (radiale) E_r e un campo magnetico orizzontale; la componente di E nella direzione di propagazione è presente, mentre H è puramente trasversale. Ciò corrisponde alla fisica della sorgente ELF – i fulmini come canali di corrente verticali – e alla geometria della cavità sottile, il cui spessore (decine di km) è molto minore sia della lunghezza d'onda (migliaia di km) sia della circonferenza terrestre.

Dalle equazioni di Maxwell senza sorgenti, per una dipendenza armonica e^{-i\omega t}, si ottiene l'equazione d'onda (di Helmholtz) \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 con k = \omega/c. Grazie alla simmetria sferica la soluzione si separa in una parte radiale e una angolare; la parte angolare conduce alle armoniche sferiche Y_n^m(\theta,\varphi) o alle funzioni di Legendre P_n(\cos\theta). Gli indici n numerano i modi propri della cavità.