Il risonatore sferico e gli autovalori (automodi)

La cavità Terra–ionosfera si può considerare un risonatore sferico: le onde con lunghezza d'onda paragonabile alla circonferenza terrestre (\approx 40\,000 km) si sovrappongono lungo la circonferenza formando onde stazionarie. La risonanza si produce quando un numero intero di lunghezze d'onda «fa il giro» del pianeta – da qui lo spettro discreto dei modi propri (automodi) numerati n = 1, 2, 3, \dots

Matematicamente il numero angolare n deriva dalla condizione che la soluzione dell'equazione di Legendre sia regolare su tutta la sfera; sono ammessi solo valori interi di n, a cui corrispondono i polinomi di Legendre P_n(\cos\theta). Il modo n ha sulla sfera n circonferenze nodali, quindi n=1 è la configurazione più bassa (dipolare), n=2 quella quadrupolare e così via. In una cavità ideale (a simmetria sferica) ogni modo è degenere (2n+1) volte nel numero azimutale m – questa degenerazione, in una cavità reale e disomogenea, viene rimossa e porta alla separazione dei modi (vedi #24).

L'autovalore determina la frequenza di risonanza f_n del modo. Per una cavità ideale ha una forma chiusa (vedi #17); per una cavità reale si ottiene numericamente.